2023年初中數學：代數式及完全平方公式考點解析

考點：寫代數式

代數式定義：由數和表示數的字母經有限次加、減、乘、除、乘方和開方等代數運算所得的式子，或含有字母的數學表達式稱為代數式。

例如：ax+2b，-2/3，b^2/26，√a+√2等。

注意

： 1、不包括等于號(=、≡)、不等號(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、約等號≈

2、可以有絕對值。

例如：|x|，|-2.25| 等

用運算符導(指加、減、乘、除、乘方、開方)把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。數的一切運算規律也適用于代數式。單獨的一個數或者一個字母也是代數

式，帶有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符號的不是代數式。

分類：在實數范圍內,代數式分為有理式和無理式。

1）.有理式

有理式包括整式(除數中沒有字母的有理式)和分式(除數中有字母且除數不為0的有理式)。這種代數式中對于字母只進行有限次加、減、乘、除和整數次乘方這些運算。

整式有包括單項式(數字或字母的乘積或單獨的一個數字或字母)和多項式(若干個單項式的和)

1.單項式

沒有加減運算的整式叫做單項式。

單項式的系數：單項式中的數字因數叫做單項式(或字母因數)的數字系數，簡稱系數

單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數

2.多項式

幾個單項式的代數和叫做多項式;多項式中每個單項式叫做多項式的項。不含字母的項叫做常數項。

多項式的次數：多項式里，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。

齊次多項式：各項次數相同的多項式叫做齊次多項式。不可約多項式：次數大于零的有理系數的多項式，不能分解為兩個次數大于零的有理數系數多項式的乘積時，稱為有理數范圍內不可約多項式。

實數范圍內不可約多項式是一次或某些二次多項式，復數范同內不可約多項式是一次多項式。對稱多項式：在多元多項式中，如果任意兩個元互相交換所得的結果都和原式相同，則稱此多項式是關于這些元的對稱多項式。同類項：多項式中含有相同的字母，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。

2）.無理式

含有 字母的根式 或 字母的非整數次乘方的代數式叫做無理式。

書寫格式：

(1)兩字母相乘、數字與字母相乘、字母與括號相乘以及括號與括號相乘時，乘號都可以省略不寫.如：“x與y的積”可以寫成“xy”;“a與2的積”應寫成“2a”，“m、n的和的2倍”應寫成“2(m+n)”。

(2)字母與數字相乘或數字與括號相乘時，乘號可省略不寫，但數字必須寫在前面.例如“x×2”要寫成”2x”，不能寫成“x2”;“長、寬分別為a、b的長方形的周長”要寫成“2(a+b)”，不能寫成“(a+b)2”。

(3)代數式中不能出現除號，相除關系要寫成分數的形式

(4)數字與數字相乘時，乘號(也可以寫作 · )仍應保留不能省略，或直接計算出結果.例如“3×7xy”不能寫成“37xy”，最好寫成“21xy”。

練習&解析

現有大小兩艘輪船，小船每天運 x噸貨物，大船比小船每天多運10噸貨物.現在讓大船完成運送100噸貨物的任務，小船完成運送80噸貨物的任務。

(1)分別寫出大船、小船完成任務用的時間?

(2)試說明哪艘輪船完成任務用的時間少?

解：(1)大船完成任務的時間為：

;

小船完成任務的時間為：

;

(2)

﹣

=

=

，

x>40時，小船所用時間少;

x=40時，兩船所用時間相同;x<40時，大船所用時間少.

考點：完全平方公式

完全平方公式是進行代數運算與變形的重要知識基礎。該知識點重點是對完全平方公式的熟記及應用，難點是對公式特征的理解 (如對公式中積的一次項系數的理解)。

兩數和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，叫做完全平方公式。為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，后者叫做兩數差的完全平方公式。

理解公式左右邊特征

(一)學會推導公式(這兩個公式是根據乘方的意義與多項式的乘法法則得到的)，真實體會隨意“創造”的不正確性;

(二)學會用文字概述公式的含義：兩數和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.

都叫做完全平方公式.為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，后者叫做兩數差的完全平方公式.

(三)這兩個公式的結構特征是：

1、

左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上或減去這兩項乘積的2倍;

2、

左邊兩項符號相同時，右邊各項全用“+”號連接;左邊兩項符號相反時，右邊平方項用“+”號連接后再“-”兩項乘積的2倍(注：這里說項時未包括其符號在內);

3、

公式中的字母可以表示具體的數(正數或負數)，也可以表示單項式或多項式等數學式.

(四)兩個公式的統一：因為

所以兩個公式實際上可以看成一個公式：兩數和的完全平方公式。這樣可以既可以防止公式的混淆又杜絕了運算符號的出錯。

練習&解析

完全平方公式的基本變形：

(一)變符號

例：運用完全平方公式計算：

(1)(-4x+3y)²

(2)(-a-b)²

分析：本例改變了公式中a、b的符號，以第二小題為例，處理該問題最簡單的方法是將這個式子解答：

(1)16x²-24xy+9y²

(2)a²+2ab+b²

(二)變項數：

例：計算：(3a+2b+c)²

分析：完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘，而本例中出現了三項，故應考慮將其中兩項結合運用整體思想看成一項，從而化解矛盾。所以在運用公式時，(3a+2b+c)²可先變形為[(3a+2b)+c]²，直接套用公式計算。

解答：9a²+12ab+6ac+4b²+4bc+c²

(三)變結構：

例：運用公式計算：

(1)(x+y)(2x+2y)

(2)(a+b)(-a-b)

(3)(a-b)(b-a)

分析:本例中所給的均是二項式乘以二項式，表面看外觀結構不符合公式特征，但仔細觀察易發現，只要將其中一個因式作適當變形就可以了，即

(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)²

(2) (a+b)(-a-b)=-(a+b)²

(3) (a-b)(b-a)=-(a-b)

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