初中數學一元一次方程9大題型解析(2)

　　利息稅=利息×稅率（20%）

　　(3)利潤=每個期數內的利息/本金×100%

　　（二）例題解析

　　1.為了準備6年后小明上大學的學費20000元，他的父親現在就參加了教育儲蓄，下面有三種教育儲蓄方式：

　　(1）直接存入一個6年期；

　　(2）先存入一個三年期，3年后將本息和自動轉存一個三年期；

　　一年2.25

　　三年2.70

　　六年2.88

　　(3）先存入一個一年期的，后將本息和自動轉存下一個一年期；你認為哪種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少？

　　[分析]這種比較幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計算出每種教育儲蓄的本金是多少，再進行比較。

　　解：(1）設存入一個6年的本金是X元，依題意得方程

　　X（1+6×2.88%）=20000，解得X=17053

　　(2）設存入兩個三年期開始的本金為Y元，

　　Y（1+2.7%×3）(1+2.7%×3）=20000，X=17115

　　(3）設存入一年期本金為Z元，

　　Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894

　　所以存入一個6年期的本金最少。

　　2.小剛的爸爸前年買了某公司的二年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅后，共得本利和約4700元，問這種債券的年利率是多少（精確到0.01%）．

　　解：設這種債券的年利率是x，根據題意有

　　4500+4500×2×X×（1-20%）=4700，解得x=0.03

　　答：這種債券的年利率為3％

　　3.白云商場購進某種商品的進價是每件8元，銷售價是每件10元（銷售價與進價的差價2元就是賣出一件商品所獲得的利潤）．現為了擴大銷售量，把每件的銷售價降低x%出售，但要求賣出一件商品所獲得的利潤是降價前所獲得的利潤的90%，則x應等于（）

　　A．1B．1.8C．2D．10

　　點撥：根據題意列方程，得（10-8）×90%=10（1-x%）-8，解得x=2，故選C

　　4.工程問題

　　（一）知識點

　　1.工程問題中的三個量及其關系為：

　　工作總量＝工作效率×工作時間

　　2.經常在題目中未給出工作總量時，設工作總量為單位1。即完成某項任務的各工作量的和＝總工作量＝1．

　　（二）例題解析

　　1.一項工程，甲單獨做要10天完成，乙單獨做要15天完成，兩人合做4天后，剩下的部分由乙單獨做，還需要幾天完成？

　　解：設還需要X天完成，依題意，

　　得(1/10+1/15)×4+1/15X=1

　　解得X=5

　　2.某工作，甲單獨干需用15小時完成，乙單獨干需用12小時完成，若甲先干1小時、乙又單獨干4小時，剩下的工作兩人合作，問：再用幾小時可全部完成任務？

　　解：設甲、乙兩個龍頭齊開x小時。由已知得，甲每小時灌池子的1/2，乙每小時灌池子的1/3。

　　列方程：1/2×0.5+(1/2+1/3)x=2/3，

　　1/4+5/6x=2/3，5/6x=5/12

　　x==0.5

　　x+0.5=1（小時）

　　3.某工廠計劃26小時生產一批零件，后因每小時多生產5件，用24小時，不但完成了任務，而且還比原計劃多生產了60件，問原計劃生產多少零件？

　　解：(X/26+5)×24-60=X，

　　X=780

　　4.某工程，甲單獨完成續20天，乙單獨完成續12天，甲乙合干6天后，再由乙繼續完成，乙再做幾天可以完成全部工程？

　　解：1-6(1/20+1/12)=(1/12)X

　　X=2.4

　　5.已知甲、乙二人合作一項工程，甲25天獨立完成，乙20天獨立完成，甲、乙二人合5天后，甲另有事，乙再單獨做幾天才能完成？

　　解：1－(1/25+1/20)×5=(1/20)X

　　X=11

　　6.將一批工業最新動態信息輸入管理儲存網絡，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？

　　解：1-1/6×1/2=(1/6+1/4)X，

　　X=11/5，2小時12分

　　5.行程問題

　　（一）知識點

　　1.行程問題中的三個基本量及其關系：

　　路程＝速度×時間時間＝路程÷速度速度＝路程÷時間

　　2.行程問題基本類型

　　（1）相遇問題：快行距＋慢行距＝原距

　　（2）追及問題：快行距－慢行距＝原距

　　（3）航行問題：順水（風）速度＝靜水（風）速度＋水流（風）速度

　　逆水（風）速度＝靜水（風）速度－水流（風）速度

　　抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關系

　　（二）例題解析

　　1.從甲地到乙地，某人步行比乘公交車多用3.6小時，已知步行速度為每小時8千米，公交車的速度為每小時40千米，設甲、乙兩地相距x千米，則列方程為_____。

　　解：等量關系步行時間－乘公交車的時間＝3.6小時

　　列出方程是：X/8-X/40=3.6

　　2.某人從家里騎自行車到學校。若每小時行15千米，可比預定時間早到15分鐘；若每小時行9千米，可比預定時間晚到15分鐘；求從家里到學校的路程有多少千米？

　　解：等量關系

　　⑴速度15千米行的總路程＝速度9千米行的總路程

　　⑵速度15千米行的時間＋15分鐘＝速度9千米行的時間－15分鐘

　　提醒：速度已知時，設時間列路程等式的方程，設路程列時間等式的方程。

　　方法一：設預定時間為x小/時，則列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）

　　方法二：設從家里到學校有x千米，則列出方程是：

　　X/15+15/60=X/9-15/60

　　3.一列客車車長200米，一列貨車車長280米，在平行的軌道上相向行駛，從兩車頭相遇到兩車車尾完全離開經過16秒，已知客車與貨車的速度之比是3：2，問兩車每秒各行駛多少米？

　　提醒：將兩車車尾視為兩人，并且以兩車車長和為總路程的相遇問題。

　　等量關系：快車行的路程＋慢車行的路程＝兩列火車的車長之和

　　設客車的速度為3X米/秒，貨車的速度為2X米/秒，

　　則16×3X＋16×2X＝200＋280

　　4.與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時向南行進。行人的速度是每小時3.6km，騎自行車的人的速度是每小時10.8km。如果一列火車從他們背后開來，它通過行人的時間是22秒，通過騎自行車的人的時間是26秒。

　　⑴行人的速度為每秒多少米？

　　⑵這列火車的車長是多少米？

　　提醒：將火車車尾視為一個快者，則此題為以車長為提前量的追擊問題。

　　等量關系：

　　①兩種情形下火車的速度相等

　　②兩種情形下火車的車長相等

　　在時間已知的情況下，設速度列路程等式的方程，設路程列速度等式的方程。

　　解：

　　⑴行人的速度是：3.6km/時＝3600米÷3600秒＝1米/秒

　　騎自行車的人的速度是：10.8km/時＝10800米÷3600秒＝3米/秒

　　⑵方法一：設火車的速度是X米/秒，則26×(X－3)＝22×(X－1)解得X＝4

　　方法二：設火車的車長是x米，則(X+22×1)/22=(X+26×3)/26

　　6.一次遠足活動中，一部分人步行，另一部分乘一輛汽車，兩部分人同地出發。汽車速度是60千米/時，步行的速度是5千米/時，步行者比汽車提前1小時出發，這輛汽車到達目的地后，再回頭接步行的這部分人。出發地到目的地的距離是60千米。

　　問：步行者在出發后經過多少時間與回頭接他們的汽車相遇（汽車掉頭的時間忽略不計）

　　提醒：此類題相當于環形跑道問題，兩者行的總路程為一圈，即步行者行的總路程＋汽車行的總路程＝60×2

　　解：設步行者在出發后經過X小時與回頭接他們的汽車相遇，則5X＋60(X-1)＝60×2

　　7.某人計劃騎車以每小時12千米的速度由A地到B地，這樣便可在規定的時間到達B地，但他因事將原計劃的時間推遲了20分，便只好以每小時15千米的速度前進，結果比規定時間早4分鐘到達B地，求A、B兩地間的距離。

　　解：方法一：設由A地到B地規定的時間是x小時，則

　　12x＝15×(X-20/60-4/60)

　　X＝2

　　12X＝12×2＝24(千米)

　　方法二：設由A、B兩地的距離是x千米，則（設路程，列時間等式）

　　X/12-X/15=20/60+4/60

　　X＝24

　　答：A、B兩地的距離是24千米。

　　溫馨提醒：當速度已知，設時間，列路程等式；設路程，列時間等式是我們的解題策略。

　　8.一列火車勻速行駛，經過一條長300m的隧道需要20s的時間。隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發光，燈光照在火車上的時間是10s，根據以上數據，你能否求出火車的長度？火車的長度是多少？若不能，請說明理由。

　　解析：只要將車尾看作一個行人去分析即可，前者為此人通過300米的隧道再加上一個車長，后者僅為此人通過一個車長。

　　此題中告訴時間，只需設車長列速度關系，或者是設車速列車長關系等式。

　　解：方法一：設這列火車的長度是x米，根據題意，得

　　(300+X)/20=X/10

　　x＝300

　　答：這列火車長300米。

　　方法二：設這列火車的速度是x米/秒，

　　根據題意，得

　　20x－300＝10xx＝3010x＝300

　　答：這列火車長300米。

　　9.甲、乙兩地相距x千米，一列火車原來從甲地到乙地要用15小時，開通高速鐵路后，車速平均每小時比原來加快了60千米，因此從甲地到乙地只需要10小時即可到達，列方程得________。

　　X/10-X/15=60

　　10.兩列火車分別行駛在平行的軌道上，其中快車車長為100米，慢車車長150米，已知當兩車相向而行時，快車駛過慢車某個窗口所用的時間為5秒。

　　⑴兩車的速度之和及兩車相向而行時慢車經過快車某一窗口所用的時間各是多少？

　　⑵如果兩車同向而行，慢車速度為8米/秒，快車從后面追趕慢車，那么從快車的車頭趕上慢車的車尾開始到快車的車尾離開慢車的車頭所需的時間至少是多少秒？

　　解析：①快車駛過慢車某個窗口時：研究的是慢車窗口的人和快車車尾的人的相遇問題，此時行駛的路程和為快車車長！

　　②慢車駛過快車某個窗口時：研究的是快車窗口的人和慢車車尾的人的相遇問題，此時行駛的路程和為慢車車長！

　　③快車從后面追趕慢車時：研究的是快車車尾的人追趕慢車車頭的人的追擊問題，此時行駛的路程和為兩車車長之和！

　　解：⑴兩車的速度之和＝100÷5＝20（米/秒）

　　慢車經過快車某一窗口所用的時間＝150÷20＝7.5（秒）

　　⑵設至少是x秒，（快車車速為20－8）

　　則（20－8）X－8X＝100＋150

　　X＝62.5

　　答：至少62.5秒快車從后面追趕上并全部超過慢車。

　　11.甲、乙兩人同時從A地前往相距25.5千米的B地，甲騎自行車，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍還快2千米/時，甲先到達B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，這時距他們出發時已過了3小時。求兩人的速度。

　　解：設乙的速度是X千米/時，則

　　3X＋3(2X＋2)＝25.5×2

　　∴X＝5

　　2X＋2＝12

　　答：甲、乙的速度分別是12千米/時、5千米/時。

　　12.一艘船在兩個碼頭之間航行，水流的速度是3千米/時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭之間的距離。

　　解：設船在靜水中的速度是X千米/時，則

　　3×(X－3)＝2×(X＋3)

　　解得x＝152×(X＋3)＝2×(15＋3)＝36（千米）

　　答：兩碼頭之間的距離是36千米。

　　13.小明在靜水中劃船的速度為10千米/時，今往返于某條河，逆水用了9小時，順水用了6小時，求該河的水流速度。

　　解：設水流速度為x千米/時，

　　則9(10－X)＝6(10＋X)

　　解得X＝2

　　答：水流速度為2千米/時

　　14.某船從A碼頭順流航行到B碼頭，然后逆流返行到C碼頭，共行20小時，已知船在靜水中的速度為7.5千米/時，水流的速度為2.5千米/時，若A與C的距離比A與B的距離短40千米，求A與B的距離。

　　解：設A與B的距離是X千米，(請你按下面的分類畫出示意圖，來理解所列方程)

　　①當C在A、B之間時，X/(7.5+2.5)+40/(7.5-2.5)=20

　　解得x＝120

　　②當C在BA的延長線上時，

　　X/(7.5+2.5)+(X+X-40)/(7.5-2.5)=20

　　解得x＝56

　　答：A與B的距離是120千米或56千米。

　　6.環行跑道與時鐘問題

　　（一）例題解析

　　1.在6點和7點之間，什么時刻時鐘的分針和時針重合？

　　解析：6：00時分針指向12，時針指向6，此時二針相差180°，在6：00～7：00之間，經過x分鐘當二針重合時，時針走了0.5x°分針走了6x°

　　以下按追擊問題可列出方程，不難求解。

　　解：設經過x分鐘二針重合，

　　則6x＝180＋0.5x

　　解得X=360/11

　　2.甲、乙兩人在400米長的環形跑道上跑步，甲分鐘跑240米，乙每分鐘跑200米，二人同時同地同向出發，幾分鐘后二人相遇？若背向跑，幾分鐘后相遇？

　　提醒：此題為環形跑道上，同時同地同向的追擊與相遇問題。

　　解：①設同時同地同向出發x分鐘后二人相遇，則

　　240X－200X＝400

　　X＝10

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