初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)

　　軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)點(diǎn)

 

　　一、軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形：

 

　　1.軸對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段叫做對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段。

 

　　2.軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸。

 

　　注意：對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)而不是線(xiàn)段

 

　　3.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：

 

　　(1)關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形;

 

　　(2)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn);

 

　　(3)兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上;

 

　　(4)如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)被同一條直線(xiàn)垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。

 

　　4.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)：

 

　　(1)定義：垂直平分一條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)。

 

　　(2)性質(zhì)：①線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;

 

　　②到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。

 

　　注意：根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的這一特性可以推出：三角形三邊的垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

 

　　5.角的平分線(xiàn)：

 

　　(1)定義：把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線(xiàn)叫做角的平分線(xiàn).

 

　　(2)性質(zhì)：①在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

 

　　②到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上.

 

　　注意：根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

 

　　6.等腰三角形的性質(zhì)與判定：

 

　　性質(zhì)：

 

　　(1)對(duì)稱(chēng)性：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，等腰三角形底邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸，或底邊上的高所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸，或頂角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸;

 

　　(2)三線(xiàn)合一：等腰三角形頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合;

 

　　(3)等邊對(duì)等角：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

 

　　說(shuō)明：等腰三角形的性質(zhì)除“三線(xiàn)合一”外，三角形中的主要線(xiàn)段之間也存在著特殊的性質(zhì)，如：①等腰三角形兩底角的平分線(xiàn)相等;②等腰三角形兩腰上的中線(xiàn)相等;

 

　　③等腰三角形兩腰上的高相等;④等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等。

 

　　判定定理：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊)。

 

　　7.等邊三角形的性質(zhì)與判定：

 

　　性質(zhì)：(1)等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°;

 

　　(2)等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)，并且在每條邊上都有“三線(xiàn)合一”。因此等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸，而等腰三角形(非等邊三角形)只有一條對(duì)稱(chēng)軸。

 

　　判定定理：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

 

　　說(shuō)明：等邊三角形是一種特殊的三角形，容易知道等邊三角形的三條高(或三條中線(xiàn)、三條角平分線(xiàn))都相等。

 

　　二、中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形：

 

　　1.中心對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠和另外一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

 

　　2.中心對(duì)稱(chēng)圖形：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱(chēng)中心。

 

　　3.中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：(1)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形;

 

　　(2)在成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中,連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的線(xiàn)段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心,并且被對(duì)稱(chēng)中心平分;

 

　　(3)成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行(或在同一直線(xiàn)上)且相等。

 

　　三、軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)的區(qū)別與聯(lián)系：

 

　　

 

　　四、幾種常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形：

 

　　軸對(duì)稱(chēng)圖形：線(xiàn)段、角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓

 

　　對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)：角有一條對(duì)稱(chēng)軸，即該角的角平分線(xiàn);等腰三角形有一條對(duì)稱(chēng)軸，是底邊的垂直平分線(xiàn);等邊三角形有三條對(duì)稱(chēng)軸，分別是三邊上的垂直平分線(xiàn);菱形有兩條對(duì)稱(chēng)軸，分別是兩條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)，矩形有兩條對(duì)稱(chēng)軸分別是兩組對(duì)邊中點(diǎn)的直線(xiàn);

 

　　中心對(duì)稱(chēng)圖形：線(xiàn)段 、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓

 

　　對(duì)稱(chēng)中心：線(xiàn)段的對(duì)稱(chēng)中心是線(xiàn)段的中點(diǎn);平行四邊形、菱形、矩形、正方形的對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，圓的對(duì)稱(chēng)中心是圓心。

 

　　說(shuō)明：線(xiàn)段、菱形、矩形、正方形以及圓它們即是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形。

 

　　五、坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱(chēng)變換與中心對(duì)稱(chēng)變換：

 

　　點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,-y)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-x,y)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)P3的坐標(biāo)是(-x,-y)這個(gè)規(guī)律也可以記為：關(guān)于y軸(x軸)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)(橫坐標(biāo))相同，橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))互為相反數(shù)。 關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的，橫坐標(biāo)為原橫坐標(biāo)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)為原縱坐標(biāo)的相反數(shù)，即橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)同乘以-1。

 

　　常見(jiàn)考法

 

　　(1)判別某些圖形是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形能找出對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)、判別某些圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形能找到對(duì)稱(chēng)中心;(2)利用垂直平分線(xiàn)性質(zhì)、角平分線(xiàn)性質(zhì)證明一些結(jié)論;(3)利用等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)證明線(xiàn)段相等、線(xiàn)段垂直;(4)直接證明某一個(gè)三角形是等腰三角形;(4)軸對(duì)稱(chēng)圖形的實(shí)際應(yīng)用(如鏡子中的軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、解決一些折疊問(wèn)題、還有求幾個(gè)線(xiàn)段之和最短問(wèn)題)。

 

　　誤區(qū)提醒

 

　　(1)把軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念、中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念混淆;(2)把軸對(duì)稱(chēng)與全等混淆;(3)找軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸不全、不準(zhǔn);(4)在解有關(guān)等腰三角形問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有進(jìn)行分類(lèi)討論，造成漏解。